小学奥数计数之插板法习题【三篇】

【第一篇】

插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
　　应用插板法必须满足三个条件：
　　（1） 这n个元素必须互不相异
　　（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
　　(3) 分成的组别彼此相异
　　举个很普通的例子来说明
　　把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
　　问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36
　　下面通过几道题目介绍下插板法的应用
　　a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）
　　1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
　　2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
　　b 添板插板法
　　3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
　　4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
　　5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
　　答案：
　　1、3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
　　显然就是 c12 2=66
　　2、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ c8 2=28
　　3、　-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10个小球，-表示空位
　　11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
　　此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
　　则每一组都可能取球为空 c12 2=66
　　4、因为前2位数字对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
　　显然a+b<=9 ,且a不为0
　　1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位
　　我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45
　　5、类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0
　　1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
　　在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
　　设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有c11 3=165

【第二篇】

1、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
　　2、有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？
　　3、现有10个完全相同的篮球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?
　　4、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？
　　1、解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以讲8个球排成一排，然后用两个板查到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是。（板也是无区别的）
　　2、解析：原理同上，只需要用3个板插入到9颗糖形成的8个内部空隙，将9颗糖分成4组且每组数目不少于1即可。因而3个板互不相邻，其方法数为。
　　3、注释：每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解法的区别。
　　4、解析：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入2个板，分成三组。但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。其考虑思维为插入两块板后，与原来的8个球一共10个元素。所有方法数实际是这10个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从10个元素所占的10个位置中挑2个位置放上2个板，其余位置全部放球即可。因此方法数为。

【第三篇】

1、一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
　　2、一条马路的两边各立着10盏电灯，现在为了节省用电，决定每边关掉3盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。问总共可以有多少总方案？
　　1、解析：要关掉9盏灯中的3盏，但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关掉的3盏灯拿出来，这样还剩6盏灯，现在只需把准备关闭的3盏灯插入到亮着的6盏灯所形成的空隙之间即可。6盏灯的内部及两端共有7个空，故方法数为。
　　A、120B、320C、400D、420
　　2、解析：考虑一侧的关灯方法，10盏灯关掉3盏，还剩7盏，因为两端的灯不能关，表示3盏关掉的灯只能插在7盏灯形成的6个内部空隙中，而不能放在两端，故方法数为，总方法数为。
　　注释：因为两边关掉的种数肯定是一样的（因为两边是同等地位），而且总的种数是一边的种数乘以另一边的种数，因此关的方案数一定是个平方数，只有C符合。